【摘要】金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产的定价、避险和最优投资消费策略的选择。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资策略和对研究开发项目的评估以及在金融风险的管理中得到广泛的运用。
【关键词】金融数学，模型
作者：龚维维
一、金融数学概念
金融理论的核心问题，就是研究在不确定的环境下，经济人在空间和时间上分配或配置金融资产的活动。这种金融行为涉及到金融资产的时间因素、不确定性因素即金融资产的价值和风险问题。处理这种复杂性常常需要引入复杂的数学工具。金融数学是指运用数学理论和方法，研究金融运行规律的一门学科。其核心问题是在不确定多期条件下的证券组合选择和资产定价理论。套利、最优和均衡是其中三个主要概念。证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论和资产结构理论在现代金融数学理论中占据重要地位。
二、金融数学中的模型
1有效市场理论
市场的有效性这一概念起源于本世纪法国人Bachelier的研究。他首次运用布朗运动模型来导出期权公式是在1900年，市场有效性的起源也正是在那个时候。然而市场有效性与信息相联系，是近几十年来的工作。Fama指出价格完全反映了可以使用的信息时，这个市场才能被称为是有效的，但是市场是有套还是无套利，是高效还是低效，不是非此即彼的问题，而是程度问题。
有效市场假设一直是激烈争论的问题，学者们进行了无数次理论研究和实证考察，对有效的市场理论的逻辑基础提出疑义：一方面市场的有效性是投机和套利的产物，而投机和套利都是有成本的活动；另一方面，因为市场是有效的，所以投机和套利是得不到回报的，这些活动就会停止，但是一旦停止了投机和套利的活动，市场又怎么能继续有效呢？无疑，投机和套利活动使得价格更为有效。正是这一矛盾统一体的不断变化，才使市场呈现出统计上的周期性变化。
2证券组合理论
金融学从定性分析到定量分析始于马科维茨的证券组合选择理论。马科维茨首先将概率理论与数学规划成功地结合在了一起，把组合投资中的股票价格作为随机变量，用其均值表示受益，方差表示风险。当收益不变、使风险最小的投资组合问题可归结为二次规划的最优解。通过数量分析得出的这种结论，迎合了投资者规避风险的需要。随着量化研究的不断深入，组合理论及其实际运用方法越来越完善，成为现代投资学中的交流工具。但马科维茨组合理论中的许多假设条件无法满足，使其在现实中失效。为了克服这一困难，后来发展了基于神经网络的证券优化算法。
3资本资产定价模型（CAPM）
资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值，一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总和的市场价值。该模型首先给出了风险资产收益率与市场风险之间的线性关系。同时也给出了单个证券的收益与市场资产组合收益之间的数量关系。资本资产定价模型的理论精华是一种证券的预期收益，可以用这种资产风险测度β来测量，既建立了期望收益率与β之间的线性关系。这一关系给出了很好的的两个命题。第一，为潜在的投资提供了一种估计其收益率的方法。第二，也为我们不在市场上交易的资产同样作出合理的定价。比如估计一级市场股票发行价。
4APT模型
资本资产定价模型刻画了在资本市场达到均衡时资本收益的决定机制，他基于众多的假设，而且其中一些假设并不符合现实，在检验CAPM时，一些经验结果与其不符，为此在1970年罗斯提出了一种新的资本资产均衡模型即套利定价模型。该模型认为风险是由多个因素产生的，不仅仅是一个市场因素，尤其是他对风险态度的假设比CAPM更为宽松，也更为接近现实。APT的核心是假设不存在套利机会，证券的预期收益与风险因素存在近似的线性关系。APT理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述。但由于APT理论只是阐明了资产定价的结构，而没有说明是哪些具体的经济的或其它的因素影响预期收益，所以这一理论的检验和实际应用都受到了一定的限制。
5期权定价模型
布莱克和斯科尔斯的期权定价模型的推导建立在没有交易成本、税收限制等6个假设基础上。该模型表明：期权的价格是期权商品市场价格、商品市场价格的波动、期权执行价格距到期日时间的长短以及安全利息率的函数。自从布莱克和斯科尔斯的论文发表以后，由默顿、考克斯、鲁宾斯坦等一些学者相继对这一理论进行了重要的推广并得到广泛的应用。期权定价模型可用来制定各种金融衍生产品的价格，是各种衍生产品估价的有效工具。期权定价模型为西方国家金融创新提供了有利的指导，是现代金融理论的主要内容之一。
6资产结构理论
在现代金融理论中，公司的资产结构理论(也称为MM定理)与有效市场理论和资产组合理论几乎是在同一时期发展起来的具有同等重要地位的成果。MM定理的条件是非常苛刻的，正是因为这些假设抽象掉了大量的现实东西，从而揭示了企业金融决策中最本质的东西即企业经营者和投资者行为及其相互作用。该定理公开发表以后，一些经济学家又对这一定理采用不同的方法从不同的角度作了进一步证明。其中最著名的有Hamda用资本定价模型进行了再证明，还有Stiglize用一般均衡理论作了再证明，结论都与MM定理是相一致的。
三、结语
数学模型已经大量的应用在金融学中，极大的促进了金融理论的发展。金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立，这些假设有些与客观现实有一定差距甚至抵触，因而解决这类问题就不理想，范围也十分狭窄，需要在数学上改进和发展。世界各国金融背景和管理模式各异，需要大量建立符合自己国情的金融模型和分析方法。